FPGA数字信号截位分析和位宽设计

FPGA数据在进行乘加过程中会面临这数据位宽变大的问题，然而硬件资源是有限的，需要对数据最终位宽进行设计，这就会面临着位宽的选择和如何截位的问题。

对多位数据进行截位处理，是一个从高量化精度向低量化精度的转换过程，由于量化位数的减少，产生截位误差，导致运算结果在时域上出现直流分量，频域出现由谐波失真造成的尖峰，降低了信号的无杂散动态范围。

比如：模拟信号经过16位ADC量化后变为数字信号，且数据类型为整型，且均采用补码形式表示如按照16 bit 量化，则15 =0000 0000 0000 1111；而-15=1111 1111 1111

0001。直接截位法是对数据直接截掉低位。以2 bit 截位为例，则15 截位后为0000 0000 0000 11=3，而-15 截位后为1111 1111 111100=-4。可以看出，在FPGA 中采用直接截位法对数据进行截位，截位是按照向下取整的方式进行的，由截位导致的近似方式对正数和负数来言是不同的，即15/（22）=3.75≈3，而-15/（22）=-3.75≈-4，因此截位后的信号会整体向下偏移，导致出现直流偏置，频谱上表现为在0 频出现误差尖峰。对截位后的信号，再进行变频等处理，就会将尖峰搬移到其他的频率。如果出现多次截位，则将增加误差尖峰的个数，影响信号产生和信号处理的效果。因此在对信号处理要求较高的场合，采用直接截位法是不合适的。

常见的截位方式有：1、负数直接截位后+1，就是所有数都按绝对值取floor

2、Truncate：直接截位，就是正数取floor，负数按绝对值取ceil

3、Rounding：舍入截位，就是所有数按绝对值取四舍五入

这三种截位方式都是可以的，其中舍入截位精度相对较高。而（《数字信号截位影响分析》– 焦庆君，解剑）这篇论文中的数据截位误差抑制方法就是用的四舍五入的思想，通过加上或者减去一个数来实现的，实现方法比较简单，我个人也是用这种方法来进行数据的截位的。具体实现方式是：①

判断数据的符号；② 如果符号为正，则将数据加上2^ (n-1)；③ 如果符号为负，则将数据加上2^(n-1)-1；④ 截掉数据的低n 位。

在一些数字信号处理的IP核中数据的截位也是可选的，一般选择近似截位。

然而上述的几种方法截位误差基本上是可以满足绝大多数需求，然而对特殊的要求时以上几种方式难以满足时，就需要对截位误差进行特殊的设计。笔者根据自身项目的调试经验，总结出来一个经过实际测试有效的方法。这个方法成为误差传递。这里设置进位上线为0.75，向下截位下线为0.25.如下图所示

1、 若数据大于设置的则数据直接置1，如图中B点，如果小于下线，则直接置0，如图中A点。这里的上线和下线是可以根据实际的需求进行调整的，但调整的原则是数据超出上下限的点的个数应当是一直的，并且上下限内的数据应当关于上下限中点对称的。

2、 如果数据在上线和下线之间，则把数据直接截位，截下的数据与下一个数据相加后再进行直接截位，这样依次进行下去即可。即若L1+L2+L3=LS>1，则把数据点E置1，然后把LS-1=LD作为新的误差传递下去，若LD+L4+L5>1则把G点置1，产生新的误差继续传递下去，如果LD+L4+L5<1,则继续加入新的数据，判断LD+L4+L5+L6是否大于1，直至产生大于1的那个点进行近卫，然后继续把新产生的误差进行传递。

通过误差传递的方式在数据量相对大一些的情况下，使得信号的原始值与截位后数据的值在时域上做差产生的差值是0，在频域上也没有引入低频信息。这种方式在实际的应用测试中很好用，因此就简单的写了出来，严格的证明毕竟麻烦，需要很大的篇幅来写，这里就不详细写了，但是这个结果是通过MATLAB仿真和实际的应用测试验证的，是能直接用的。

在实际系统中存在着加和乘的运算，这样就导致数据位宽发生变化，有时候为了保证数据的精度不进行截位，但硬件资源有限，适当的截位对最终结果影响较小，因此合理的位宽设计既要满足精度要求也要满足资源要求。

一个典型的例子就是有限脉冲响应（FIR）滤波器的设计就会面临上面的问题。

假设滤波器系数位[15、17、-88、103、75、75、103、-88、17、15]，输入数据位宽位N，而输出位宽最佳是如何设计呢？要想数据全精度的运算，针对上面的滤波器系数位宽应该为N+8（系数最大值103的有符号二进制位宽）+4（系数个数的二进制值）。然而在实际运算中通常先得到系数绝对值的和596，而596至少需要10位二进制数表示，因此实际位宽设计为N+10。但是在系数较多或者运算次数较多的系统中，要求输入位宽为N而输出位宽为N+1时，就需要进行截位处理。合理的截位能提升系统的实际运行性能，最佳的截位是定点的运算达到浮点运算的效果。