FPGA：逻辑代数的基本公式和规则

逻辑代数的基本公式

基本公式

逻辑代数的基本公式

• 0、1律: $A+0=AA+1=1A\cdot 1=AA\cdot 0=0$
• 互补律: $A+\bar{A}=1A\cdot \bar{A}=0$
• 交换律: $A+B=B+AA\cdot B=B\cdot A$
• 结合律: $A+B+C=(A+B)+CA\cdot B\cdot C=(A\cdot B)\cdot C$
• 分配律: $A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)$
• 重叠律: $A+A=AA\cdot A=A$
• 反演律: $\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}\overline{AB}=\bar{A}+\bar{B}$
• 吸收律:

  $\begin{array}{ll}A+A\cdot B=A& A\cdot (A+B)=A\\ A+\bar{A}\cdot B=A+B& (A+B)\cdot (A+C)=A+BC\end{array}$

• 其他常用恒等式:

  $\begin{array}{l}AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C\\ AB+\bar{A}C+BCD=AB+\bar{A}C\end{array}$

常用公式

$\begin{array}{ll}\overline{\mathbf{A}+\mathbf{B}}=\overline{\mathbf{A}}\cdot \overline{\mathbf{B}}& \overline{\mathbf{AB}}=\overline{\mathbf{A}}+\overline{\mathbf{B}}\\ A+A\cdot B=A& A+\bar{A}\cdot B=A+B\\ A\cdot (A+B)=A& \mathbf{AB}+\mathbf{A}\overline{\mathbf{B}}=\mathbf{A}\\ \mathbf{A}\oplus 0=\mathbf{A}& \mathbf{A}\odot 0=\overline{\mathbf{A}}\\ \mathbf{A}\oplus 1=\overline{\mathbf{A}}& \mathbf{A}\odot 1=\mathbf{A}\end{array}$

示例

1.证明 $\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$,$ quad overline{A B}=bar{A}+bar{B}$

列出等式、右边的函数值的真值表

$\begin{array}{cccccccc}A& B& \bar{A}& \bar{B}& \overline{A+B}& \bar{A}\cdot \bar{B}& \overline{AB}& \bar{A}+\bar{B}\\ 0& 0& 1& 1& \overline{0+0}=1& 1& \overline{0\cdot 0}=1& 1\\ 0& 1& 1& 0& \overline{0+1}=0& 0& \overline{0\cdot 1}=1& 1\\ 1& 0& 0& 1& \overline{1+0}=0& 0& \overline{1\cdot 0}=1& 1\\ 1& 1& 0& 0& \overline{1+1}=0& 0& \overline{1\cdot 1}=0& 0\end{array}$

可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。

2.用基本公式证明下列等式成立。

$\overline{\bar{A}B+A\bar{B}}=\bar{A}\bar{B}+AB$

证明：

$\begin{array}{rl}\overline{\bar{A}B+A\bar{B}}& =\overline{\bar{A}}B\cdot \overline{\bar{A}}\overline{\bar{B}}\\ & =(A+\bar{B})\cdot (\bar{A}+B)\\ & =A\bar{A}+AB+\bar{A}\bar{B}+\bar{B}B\\ & =0+AB+\bar{A}\bar{B}+0\\ & =\bar{A}\bar{B}+AB\end{array}$

3.求证 $AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$

$\begin{array}{rl}\text{ 左式 }& =AB+\bar{A}C+(A+\bar{A})BC\\ & =AB+\bar{A}C+ABC+\bar{A}BC\\ & =AB+\bar{A}C\end{array}$

4.求证 $AB+\bar{A}C+BCD=AB+\bar{A}C$

$\begin{array}{l}\text{ 左式 }=AB+\bar{A}C+BC+BCD\\ =AB+\bar{A}C+BC\\ =AB+\bar{A}C\end{array}$

逻辑代数的基本规则

代入规则

在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。

$\overline{A\cdot B}=\bar{A}+\bar{B}$

用B·C 代替B，得 $\overline{A(BC)}=\bar{A}+\overline{BC}=\bar{A}+\bar{B}+\bar{C}$

得代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围

反演规则

对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。

1.试求$L=\bar{A}\bar{B}+CD+0$的非函数。

解：按照反演规则，得

$\bar{L}=(A+B)\cdot (\bar{C}+\bar{D})\cdot 1=(A+B)(\bar{C}+\bar{D})$

2.试求$L=A+\overline{B\bar{C}+\overline{D+\bar{E}}}$的非函数$\overline{L}$

解：由反演规则，可得$\bar{L}=\bar{A}\cdot \overline{(\bar{B}+C)\cdot \overline{\bar{D}E}}$，保留反变量以外的非号不变。

对偶规则

对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作$L^{\prime }$。

3.逻辑函数$L=(A+\bar{B})(A+C)$的对偶式为

$L^{\prime }=A\bar{B}+AC$

当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。

参考文献：

1. Verilog HDL与FPGA数字系统设计，罗杰，机械工业出版社，2015年04月
2. Verilog HDL与CPLD/FPGA项目开发教程(第2版), 聂章龙, 机械工业出版社, 2015年12月
3. Verilog HDL数字设计与综合(第2版), Samir Palnitkar著，夏宇闻等译, 电子工业出版社, 2015年08月
4. Verilog HDL入门(第3版), J. BHASKER 著 夏宇闻甘伟 译, 北京航空航天大学出版社, 2019年03月