FPGA：逻辑函数的代数法化简

逻辑函数的最简形式

1．化简逻辑函数的意义

$\begin{array}{rl}L& =AB+\bar{A}B+\bar{A}\bar{B}\\ & =(A+\bar{A})B+\bar{A}\bar{B}\\ & =1\cdot B+\bar{A}\bar{B}\\ & =B+\bar{A}\end{array}$

两个电路的逻辑功能完全相同。但简化电路使用的逻辑门较少，体积小且成本低。

化简的意义：根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性。

2.逻辑函数的常见表达形式

$\begin{array}{rlrl}L& =\genfrac{}{}{0ex}{}{AC+\bar{C}D}{\overline{\overline{AC}}\cdot \overline{\bar{C}}D}& & \text{ “与–或” 表达式 }\\ & & \text{ “与非–与非” 表达式 }& \\ & =(A+\bar{C})(C+D)& & \text{ “或–与” 表达式 }\\ & =\overline{\overline{(A+\bar{C})}+\overline{(C+D)}}& & \text{ “或非–或非” 表达式 }\\ & =\overline{\bar{A}C+\bar{C}\bar{D}}& & \text{ “与–或–非” 表达式 }\end{array}$

“与-或”表达式:也称为 “积之和 (Sum of Products，SOP)”表达式；

“或-与”表达式:也称为 “和之积(Products of Sum， POS)”表达式。

简化标准(最简的与-或表达式)

乘积项的个数最少(与门的个数少）;
每个乘积项中包含的变量数最少（与门的输入端个数少）。

化简的主要方法：

１．公式法（代数法）
运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。
２．图解法（卡诺图法）
逻辑变量的个数受限。

逻辑函数的代数化简法

方法：

并项法

$A+\bar{A}=1$

• $L=\bar{A}\bar{B}C+\bar{A}\bar{B}\bar{C}=\bar{A}\bar{B}(C+\bar{C})=\bar{A}\bar{B}$

吸收法

$A+AB=A$

• $L=\bar{A}B+\bar{A}BCD(E+F)=\bar{A}B$

消去法

$A+bar{A} B=A+B $

• $\begin{array}{rl}L& =AB+\underline{\bar{A}C}+\underline{\bar{B}C}=AB+(\bar{A}+\bar{B})C\\ & =AB+\overline{ABC}=AB+C\end{array}$

配项法

$A+\bar{A}=1$

• $\begin{array}{rl}L& =AB+\bar{A}\bar{C}+\underline{B\bar{C}}=AB+\bar{A}\bar{C}+(A+\bar{A})B\bar{C}\\ & =\underline{AB}+\underline{\bar{A}\bar{C}}+\underline{AB\bar{C}}+\underline{\bar{A}B\bar{C}}\\ & =(AB+AB\bar{C})+(\bar{A}\bar{C}+\bar{A}\bar{C}B)\\ & =AB+\bar{A}\bar{C}\end{array}$

示例1

已知逻辑函数表达式为$L=\bar{A}B\bar{D}+A\bar{B}\bar{D}+\bar{A}BD+A\bar{B}\bar{C}D+A\bar{B}CD$

要求：（1）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出逻辑图；
（2）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。

$\begin{array}{rl}L& =\bar{A}B(\bar{D}+D)+A\bar{B}\bar{D}+A\bar{B}(\bar{C}+C)D\\ & =\bar{A}B+A\bar{B}\bar{D}+A\bar{B}D\\ & =\bar{A}B+A\bar{B}(D+\bar{D})\\ & =\bar{A}B+A\bar{B}\text{ (与–或表达式) }\\ & =\overline{\overline{\bar{A}}B+A\bar{B}}\\ & =\overline{\overline{\bar{A}}B\cdot \overline{A\bar{B}}}\text{ (与非–与非表达式) }\end{array}$

示例2

试对逻辑函数表达式$L=\bar{A}\bar{B}C+A\bar{B}\bar{C}$ 进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。

$\begin{array}{rl}L& =\bar{A}\bar{B}C+A\bar{B}\bar{C}=\overline{\overline{\bar{A}\bar{B}C}}+\overline{\overline{A\bar{B}\bar{C}}}\\ & =\overline{A+B+\bar{C}+\overline{\bar{A}+B+C}}\\ & =\overline{\overline{\overline{A+B+\bar{C}}+\overline{\bar{A}+B+C}}}\end{array}$

参考文献：

1. Verilog HDL与FPGA数字系统设计，罗杰，机械工业出版社，2015年04月
2. Verilog HDL与CPLD/FPGA项目开发教程(第2版), 聂章龙, 机械工业出版社, 2015年12月
3. Verilog HDL数字设计与综合(第2版), Samir Palnitkar著，夏宇闻等译, 电子工业出版社, 2015年08月
4. Verilog HDL入门(第3版), J. BHASKER 著 夏宇闻甘伟 译, 北京航空航天大学出版社, 2019年03月